Intégrales impropres

Préambule. I Définitions.
Dans tout cet exposé nous retrouvons les principes et les méthodes déjà vues dans l'étude des séries.
I-1 Convergence.
Nous considérons une fonction f définie sur l'intervalle [a,b[ et Riemann intégrable sur tout segment [a,x] inclus dans [a,b[. Nous dirons que l'intégrale  est convergente en b si et seulement si la fonction

admet une limite quand x tend vers b, cette limite est appelée intégrale impropre ou généralisée de f sur l'intervalle [a,b[.
Attention, abus de langage !
Le symbole  n'a de sens que si l'intégrale converge, en toute rigueur il devrait être interdit de l'utiliser avant d'établir la convergence.


I-2 Cauchy Convergence.

Nous considérons une fonction f définie sur l'intervalle [a,b[ et Riemann intégrable sur tout segment [a,x] inclus dans [a,b[. Nous dirons que l'intégrale  est Cauchy convergente en b si et seulement si la fonction

tend vers 0 quand x tend vers b, uniformément en u
Remarque.
Toute intégrale convergente est Cauchy convergente.
Théorème (1).
L'ensemble des réels étant complet, toute intégrale Cauchy convergente est convergente.


I-3 Intégrales faussement généralisées.

Si, au point b, la fonction f est prolongeable par continuité en une fonction g, la fonction g est Riemann intégrable sur [a,b] et coïncide avec f à un point près, on obtient immédiatement:


I-4 Absolue convergence.

L'intégrale  est absolument convergente en b si et seulement si l'intégrale  est convergente en b.
Théorème (2).
Une intégrale absolument convergente est convergente.

Une démonstration utilise la Cauchy convergence et l'inégalité:

Remarque.
Une intégrale convergente mais non absolument convergente est dite semi convergente.


II Intégrales impropres de fonctions positives.

Les méthodes d'intégration des fonctions positives sont d'autant plus intéressantes qu'il est souvent plus facile de démontrer la convergence absolue d'une intégrale que sa convergence simple.


II-1 Convergence dominée.

Lemme (3), convergence majorée.

L'intégrale  de la fonction positive f est convergente en b si et seulement si la fonction

est majorée sur l'intervalle [a,b[.

Il suffit de remarquer que la fonction F est monotone croissante sur [a,b[.

Théorème (4), convergence dominée.
Les deux fonctions f et g sont positives, définies sur l'intervalle [a,b[ et intégrables sur tout segment [a,x] inclus dans [a,b[. Si la fonction f est dominée par la fonction g au voisinage de b, ( f Ob( g )), la convergence de l'intégrale  entraîne celle de l'intégrale .

La fonction f est dominée par la fonction g au voisinage de b:

L'intégrale  est convergente et nous vérifions:

D'après le lemme de convergence majorée nous vérifions que les intégrales  et donc  sont convergentes.

Corollaire (5).
Dans les même conditions, si la fonction f est négligeable devant la fonction g au voisinage de b, ( ob( g )), la convergence de l'intégrale  entraîne celle de l'intégrale .

Nous avons bien sûr ob( g ) Ob( g ).


II-2 Théorème (6), fonctions équivalentes.

Si les fonctions positives f et g sont équivalentes au voisinage de b, les deux intégrales  et  sont de même nature.

Pour x assez voisin de b nous vérifions les deux inégalités:

ce qui nous ramène au lemme (3) précédent.


II-3 Théorème (7) comparaison avec une série.

La fonction f étant supposée positive et monotone décroissante, l'intégrale  est convergente si et seulement si la série  est convergente.

La fonction f étant positive et monotone décroissante, les inégalités:

permettent d'utiliser le théorème de convergence majorée (des intégrales et des séries) pour conclure.


III Méthodes de calcul des intégrales impropres.

Toutes les méthodes de calcul d'intégrales impropres se ramènent à des calculs de limite de fonctions, comme les méthodes de calcul des séries se ramènent à des études de suites.


III-1 Méthodes générales.

Pour calculer une intégrales impropre en b on calcule l'intégrale de Riemann sur [a,x] par les procédés habituels puis on recherche la limite éventuelle quand x tend vers b en faisant attention à prendre en compte tous les termes qui interviennent.


III-2 Valeur principale de Cauchy.

Théorème (8).
La valeur d'une intégrale impropre convergente est égale à sa valeur principale.

Ce n'est qu'après avoir démontré la convergence de l'intégrale impropre que l'on peut écrire:

ou

et donc utiliser les facilités de calcul que procure cette écriture!
 

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C.S.T. Mathématique 1999. Mise à jour du 29/06/07.