Fonction exponentielle.

 
Plus qu'une leçon type qui n'aurait que peu de signification, ce dossier propose quelques documents pouvant être utilisés dans différents contextes pédagogiques.
Ce cours fait suite à la leçon sur les logarithmes népériens, leçon à laquelle nous vous renvoyons.
Ce dossier fait partie d'une trilogie : Le logarithme népérien précède l'exponentielle qui est suivie du logarithme décimal.
 
Les quelques exercices proposés sont de deux types :
  • Des exercices formatifs sont là essentiellement pour assouplir le cadrage dans le temps : l'usage judicieux d'un exercice comble un temps mort et évite d'entamer un nouveau sujet.
  • Des exercices informatifs font pressentir l'importance historique du calcul des séries géométriques. Calcul rendu possible par l'emploi d'un logarithme et de sa fonction réciproque.
     
L'ensemble du dossier proposé contient ainsi :
  • Un document élève complet, « expont_f.pdf » comprenant quatre pages de cours interactif et deux pages d'exercices éventuels.
  • Le même document en version blanche, « expont_w.pdf », qui laisse des trous pour les réponses des élèves.
  • Les fichiers sources des documents présentés. Ces fichiers sont fournis au format Latex, pour le texte, et PostScript ( eps ), pour les graphiques.
     
Comme toujours, tous les fichiers sont totalement libres à la copie et à l'utilisation.
 
A propos du programme.
Les programmes sont largement commentés dans le premier dossier, « Logarithmes népériens », nous n'y revenons pas.
Rappelons seulement que nous avons décidé de présenter l'exponentielle comme fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.
 
Insistons sur le fait que ce choix n'est pas unique et que nous respectons les auteurs qui privilégient une définition différentielle de l'exponentielle, pour en déduire le logarithme népérien.
 
A.  Les pré requis.
Pour qu'un dialogue constructif soit envisageable, il importe que les notions suivantes soient claires dans l'esprit de l'enseignant et connues des enseignés :
  • Une bonne pratique des calculatrices disponibles en classe.
  • Le calcul des puissances entières et des racines d'ordre d'un réel positif.
  • Les propriétés des suites arithmétiques et géométriques.
  • Les définitions du taux d'accroissement et du nombre dérivé d'une fonction.
  • Et, bien sûr, la définition du logarithme népérien.
On peut penser que ce dernier point vient juste d'être traité.
 
B.  L'exponentielle pas à pas.
 
I.  Découverte de la fonction exponentielle.
Ces activités reposent entièrement sur les réactions de la calculatrice, l'enseignant prudent prendra soin de vérifier, avant le cours, le fonctionnement des machines de ses élèves et de noter leurs différentes réactions.
On remarquera, par exemple, que l'affichage en virgule fixe avec deux décimales est confortable pour les arrondis, mais que son usage abusif sur des nombres voisins de zéro s'avère pour le moins déroutant.
Un illusionniste moyen peut ainsi « démontrer » que zéro divisé par zéro donne deux, zéro, ou même vingt.
 
Activité 1.
Il est possible d'ouvrir le débat en laissant les auditeurs proposer quelques valeurs farfelues, mais attention, l'exponentielle croît très vite.
Le risque d'un dépassement de capacité de la machine, « overflow » ou « underflow », est non négligeable.
Dans ce cas il est indispensable d'expliquer que le message d'erreur vient des limites de la machine mais que l'exponentielle reste définie pour tout réel.
Une bonne solution serait de disposer de plusieurs machines dont les seuils de dépassement sont différents ... ou de logiciels de calculs plus performants que les calculatrices des élèves.
 
Activité 2.
Deuxième phase de la découverte, cette brève activité conforte la notion de fonction réciproque.
On insistera notamment sur le fait que la fonction est l'identité de , alors que est l'identité de .
 
II.  Propriété caractéristique.
Même si la « substantifique moelle »  n'est accessible que dans l'item V du programme, et donc réservée aux spécialités de l'énergie, nous considérons comme caractéristique la propriété de l'exponentielle d'être égale à sa dérivée.
 
Activité 3.
Les valeurs proposées ont été choisies pour que l'arrondi masque parfaitement l'écart qui existe entre le taux d'accroissement et le nombre dérivé, on évitera ici toute initiative intempestive.
On veillera notamment à chaîner tous les calculs dans la calculatrice, de façon à éviter une chute de la précision et des résultats aberrants.
 
Un développement de Taylor Young élémentaire permet de donner un ordre de grandeur de l'erreur commise :
L'écart étant fixé, on comprend que les valeurs les plus sensibles soient les grandes valeurs de . Par exemple, nous obtenons un ordre de grandeur de 0,0074 pour , contre seulement 0,0027 pour .
Pour pallier ce défaut, on est tenté d'utiliser une erreur relative en fixant le nombre de chiffres significatifs au lieu du nombre de décimales. Nous n'avons pas retenu ce principe pour deux raisons :
  1. L'incertitude relative n'est d'aucun intérêt quand il s'agit de reporter des points sur un graphique.
  2. A distance, au tableau noir ou sur l'écran, l'affichage en virgule fixe montre de façon plus frappante les ordres de grandeurs des résultats.
 
Usage d'un tableur.
L'emploi d'un tableur pour remplir le tableau permet de gagner du temps en supprimant toute divergence sur les résultats et les méthodes proposés par les élèves. Les calculs d'arrondis sont automatiques et l'affichage parfait.
On gardera cependant à l'esprit
  • d'une part, qu'un peu d'activité « manuelle » peut être bienvenue, même en Bac Pro ;
  • d'autre part, que le tableur trace difficilement les tangentes aux points qui nous intéressent.
 
Le graphique.
La page 2 propose un repère gradué pour construire le diagramme demandé, l'échelle choisie doit permettre un travail aisé.
On utilise les résultats du tableau pour tracer la courbe selon la méthode éprouvée des « points tangente » :
Pour une abscisse donnée, on place le point de coordonnées , puis on trace la tangente dont on a le coefficient directeur.
La courbe d'équation peut figurer d'origine sur le diagramme, il serait intéressant qu'un ou deux élèves suggèrent d'utiliser une symétrie pour tracer la courbe demandée à partir de la courbe fournie.
 
N.B.
La feuille 2 figure en double exemplaire dans le fichier « expont_w.pdf » : la courbe d'équation est tracée sur la feuille supplémentaire et pas sur l'autre.
Selon le temps imparti à l'activité, trois options sont ainsi possibles :
  • Le travail est effectué entièrement en classe. Une vidéo projection ou une rétroprojecteur du diagramme peut soutenir la cohésion de l'activité.
  • Seuls les calculs sont effectués en classe, le diagramme est déjà terminé.
  • L'enseignant juge ses élèves suffisamment aguerris et distribue directement la page complétée.
La propriété, ,  est fournie par la calculatrice et confirmée par le graphique.
Les propriétés, et , sont fournies par la calculatrice et confirmées par le graphique.
Pour la croissance de la fonction exponentielle, on peut faire remarquer que l'observation est confirmée par le fait que la dérivée reste positive sur .
 
III.  Propriété fondamentale.
Pour une fois, nous ne proposons pas de découverte, mais une démonstration qui montre le lien étroit qui existe entre la propriété du logarithme,  , et celle de l'exponentielle.
La question cruciale des ensembles de définition n'est pas posée.
Si l'ambiance de la classe le justifie, il est possible de sauter la démonstration pour donner tout de suite le résultat.
 
Activité 4.  En présence de l'enseignant.
La propriété fondamentale est appliquée à quelques puissances simples de .
L'objectif de cette activité est essentiellement prédictif en permettant à l'enseignant de mettre le doigt sur des lacunes dans les concepts de racine carrée et de puissance entière, positive ou négative.
L'activité 4 anticipe la présentation de l'exponentielle comme une puissance de . Une gestion minutieuse du débat est indispensable pour éviter une confusion prématurée entre et .
Les exemples retenus l'ont été parce qu'ils ne nécessitent pas l'usage de la fonction «   » de la calculatrice.
Pour la deuxième ligne du tableau, la valeur de est calculée, une fois pour toute, et mise en mémoire. L'élève utilise ensuite les touches de fonction «  », «  », «  » et «  ».
Soulignons encore une fois qu'il est indispensable que tous les calculs soient chaînés dans la calculatrice.
La troisième ligne du tableau explicite les exposants codées dans la premère ligne.
Le renseignement de la dernière ligne utilise la touche de fonction exponentielle qui peut être repérée par «  », «  » ou «  ». On voit l'ambiguïté de cette dernière notation.
 
IV.  Détermination d'une suite géométrique dont on connaît deux termes.
Nous avons les outils nécessaires, il reste à les utiliser.
La définition et le calcul des notes d'une gamme chromatique, présenté sous forme d'exercice, permet d'appliquer 
  • la correspondance entre une suite géométrique et une suite arithmétique vue dans la leçon précédente,
  • la définition de l'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien.
Cet exercice reprend les calculs de puissance en citant une raison et, contrairement au calcul des séries Renardlogarithmes décimaux pages 6 et 7 ), il n'y a pas de référence à la base décimale.
 
Pour certaines spécialités, un lien peut être envisagé avec le cours de physique.
 
Rappel.
Les quelques exercices et applications présentés dans le dossier sur l'exponentielle le sont pour leur valeur formative.
Nous retrouverons des évaluations sommatives du même type dans le dossier sur les logarithmes décimaux ( pages 6 à 12 ).
L'enseignant qui le désire peut donc modifier les choix effectués voire réécrire certains des exemples choisis pour les adapter à sa personnalité ou à son auditoire.
 
Exercice 1.  Etude d'une gamme chromatique tempérée.
Selon le choix de l'intervenant, l'exercice est fait en classe, en groupe ou individuellement.
Les calculs ne requièrent pas l'usage de la fonction de la calculatrice.
Si par hasard un élève utilisait cette fonction, il serait enrichissant pour le groupe qu'il précise comment il mène les calculs des questions 7 et 8 pour ne pas perdre de précision..
Encore une fois, il est indispensable que tous les calculs soient chaînés dans la calculatrice.
Selon le niveau et l'intérêt des auditeurs, cet exercice peut amorcer un débat sur la notion de puissance, débat qui recouvre le paragraphe suivant.
 
V.  Puissance réelle d'un nombre réel.
Nous savons définir les puissances rationnelles d'un nombre réel positif, mais nous ne savons absolument pas ce que peut signifier une puissance irrationnelle.
La question de fond est primordiale et son importance historique n'échappe à personne : après l'abandon de la quadrature du cercle et la découverte des irrationnels, nous définissons enfin un bon outil de calcul sur ces derniers.
La pratique semble plus ambiguë : pourquoi perdre son temps alors qu'on trouve, en Chine ou au Japon, pour une poignée de dollars, des machines qui font le travail ?
Je m'explique en citant quelques fines réflexions entendues :
  • Quatre vingt pour cent des élèves de Bac Pro sont capables de calculer la valeur de , puisque la machine leur donne le résultat.
  • Quand on étudie la compression adiabatique, l'exposant 1,4 n'est pas un irrationnel, puisqu'il peut s'écrire sous forme d'une fraction.
  • Pour calculer la racine ième d'un nombre positif, les logarithmes sont inutiles : un esclave, muni de papier et d'un stylo, trouve le résultat en appliquant la méthode de dichotomie.
Ces quelques considérations font que nous limitons le paragraphe V au strict minimum et que nous suggérons à l'enseignant :
  • De présenter l'aspect historique, s'il le désire.
    Nous verrons dans le prochain cours des application industrielles des logarithmes.
  • De souligner l'aspect simplificateur du calcul logarithmique qui remplace des multiplications par des additions.
  • De ne pas présenter les logarithmes comme un outil de calcul indispensable, à des auditeurs qui disposent de moyens informatiques évolués.
     
Nous terminons le paragraphe V en proposant l'étude de la compression adiabatique dans un petit moteur diesel.
L'étude d'un moteur à essence est proposée, sous forme d'exercice, dans le dossier consacré aux logarithmes décimaux.
 
VI.  Un exemple de loi exponentielle.
Le modèle exponentiel existe dans la nature, il est donc intéressant de le comprendre.
 
Exercice 2.  Etude de la fission d'un échantillon de Césium 137.
Plutôt que la traditionnelle décharge d'un condensateur, nous avons retenu la désintégration d'un échantillon de césium 137, pour deux raisons :
  1. L'étude de la radioactivité est au programme de quelques, rares, spécialités de Bac Pro.
  2. Le thème de la désintégration du césium 137 est largement vulgarisé en Europe, depuis le vingt six avril 1986.
Ceci mis à part, l'exercice est de structure classique et ne suscite pas de commentaires.
 
Remarquons que le premier diagramme préfigure l'usage d'un papier semi logarithmique. Ce papier, ainsi que le papier logarithmique, est défini dans le dossier sur les logarithmes décimaux.
 
VII.  Utilisation du calcul des puissances.
Quelques formules de physique utilisent des puissances présumées irrationnelles, nous retenons les cellules photorésistantes au sulfure de cadmium pour deux exercices.
Un modèle de cellule apparaît dans le dossier sur les logarithmes décimaux ( EX4 ) un autre modèle est étudié dans le présent dossier.
 
Exercice 3.  Etude d'une cellule LDR au CdS.
Pour ce dernier exercice, nous prenons le problème à l'envers : Le modèle mathématique est supposé connu et nous cherchons les valeurs des paramètres.
On notera en plus que les données sont redondantes : La colonne « 70 » est là pour permettre une vérification du résultats et sécuriser l'élève avant de l'entraîner dans la suite des calculs.
La résolution du sytème de deux équations linéaires à deux inconnues n'est pas détaillé sur la feuille et ne doit pas masquer le thème de la séance.
Si les élèves ne savent pas utiliser leur machine pour résoudre un tel système, il est toujours possible d'ouvrir une brève parenthèse pour traiter la question.
Une autre possibilité est de calculer soi même ou de faire calculer par un petit groupe le résultat cherché et de le donner à l'ensemble.
Le graphique en fonction de est là pour poser plus de questions qu'il n'en résout :
  • Ses points sont quasiment collés sur les axes.
  • Il est impossible de le distinguer de la représentation d'une classique fonction homographique.
Laissons donc ceux qui le peuvent se poser des questions, revenir sur l'exemple précédent, voire même suggérer des réponses, sans leur dévoiler la voie.
Dans la prochaine leçon ( EX 4 ) nous découvrirons combien la fonction logarithme, par le biais des échelles logarithmiques, offre au scientifique un puissant outil d'investigation.
 
Rappelons que la définition d'une échelle logarithmique n'utilise pas plus le logarithme népérien qu'un autre logarithme.
 
C.  Après la fonction exponentielle.
Si nous faisons le bilan :
  • La fonction réciproque du logarithme népérien, étend à tout entier la puissance du nombre .
  • Cette fonction permet de définir la puissance réelle de tout nombre strictement positif.
  • Le couple logarithme népérien, exponentielle permet de calculer la puissance réelle d'un nombre strictement positif.
Même si les machines actuelles rendent caducs ces moyens de calcul, l'utilisation d'un logarithme pour transformer une suite géométrique en une suite arithmétique est un puissant moyen d'analyse pour certains phénomènes physiques.
Le cours suivant verra l'introduction et surtout la pratique d'un logarithme plus proche des normes industrielles : le logarithme décimal.
 
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C.S.T. Mathématique 2005. Mise à jour du 28/06/07.