Les coniques


I. Définition par foyer et directrice.

Etant donné une droite D un point F extérieur à cette droite et un réel strictement positif e, on appelle conique G de foyer F, de directrice D et d'excentricité e l'ensemble des points du plan ( D, F ) vérifiant l'égalité :

De cette égalité on déduit immédiatement que toute conique admet un axe de symétrie passant par F et perpendiculaire à D, cet axe est l'axe focal de la conique.

Si H0 est l'intersection de l'axe focal et de la directrice on note p le paramètre de la conique: 
p = e FH0

On remarque que, quelle que soit la conique, le paramètre p mesure la longueur de la demi corde focale parallèle à la directrice D.

Si l'excentricité e a la valeur 1 la conique G coupe l'axe focal en un seul point S milieu du segment [ H0, F ], ce point S est appelé sommet de la conique. Quelques constructions de géométrie élémentaire montrent que le point F et tous les points de G sont situés dans un même demi plan délimité par la parallèle à D menée par le sommet S de G. La conique est une parabole.
Sinon soient S1 et S2 les points d'intersection de la conique G avec l'axe focal, ces points sont encore appelés sommets de la conique. Selon la valeur de l'excentricité e deux configurations sont possibles :
Si on a e < 1 quelques constructions de géométrie élémentaire montrent que le point F et tous les points de G sont situés entre les deux parallèles à la directrice D menées par les sommets S1 et S2, la conique G est une ellipse.
Si on a 1 < e quelques constructions de géométrie élémentaire montrent que le point F et tous les points de G sont situés à l'extérieur de la bande de plan délimitée par les deux parallèles à la directrice D menées par les sommets S1 et S2, la conique G est une hyperbole.
Une étude analytique dans un repère adapté est pratique pour mettre en évidence d'autres propriétés des coniques.
II. Equation réduite de la parabole en coordonnées cartésiennes.
L'étude géométrique suggère d'utiliser un repère orthonormé dont l'axe des abscisses est l'axe focal de la parabole orienté de H0 vers F et l'origine O confondue avec le sommet S. Encore un peu de géométrie et nous obtenons l'équation classique dans laquelle certains donnent une valeur algébrique au paramètre p :
III. Equation réduite de l'ellipse en coordonnées cartésiennes.
L'étude géométrique suggère d'utiliser un repère orthonormé dont l'axe des abscisses est l'axe focal de l'ellipse orienté de H0 vers F et l'origine O le milieu du segment [ S1, S2 ]. On note alors a la distance d( O, S1 ) et c la distance d( O, F ), encore un peu de géométrie et nous obtenons les égalités : c = a.e et p = a.( 1 - e2 ) qui nous amènent à l'équation classique :

Il est commode de poser b2 = a2( 1 - e2 ) = p.a ce qui donne ici b2 = a2 - c2.
De cette équation on tire immédiatement que l'ellipse admet un centre de symétrie O et deux axes de symétrie : l'axe focal et l'axe non focal perpendiculaire à l'axe focal en O. Sur ces axes l'ellipse découpe des segments de longueurs respectives 2a et 2b. Les mêmes raisons de symétrie impliquent l'existence d'un deuxième foyer F' vérifiant d( F, F' ) = 2c.

Définition bifocale de l'ellipse, méthode du jardinier.

D'après l'étude précédente l'ellipse est située entièrement entre ses deux directrices parallèles D et D', tout point M de G vérifie donc : d( M, D ) + d( M, D' ) = d( D, D' ) ce qui ramené aux foyers donne :
.

Un calcul simple permet de conclure avec les notations précédentes : l'ellipse de foyers F et F' est l'ensemble des points du plan vérifiant l'égalité : d( M, F ) + d( M, F' ) = 2.a.

IV. Equation réduite de l'hyperbole en coordonnées cartésiennes.

L'étude géométrique suggère d'utiliser un repère orthonormé dont l'axe des abscisses est l'axe focal de l'hyperbole orienté de H0 vers F et l'origine O le milieu du segment [ S1, S2 ]. On note alors a la distance d( O, S1 ) et c la distance d( O, F ), encore un peu de géométrie et nous obtenons les égalités : c = a.e et p = a ( 1 - e2 ) qui nous amènent à l'équation classique :

Il est commode de poser b2 = a2( e2 - 1 ) = p.a ce qui donne ici b2 = c2 - a2.
De cette équation on tire immédiatement que l'hyperbole admet un centre de symétrie O et deux axes de symétrie: l'axe focal et l'axe non focal perpendiculaire à l'axe focal en O. L'hyperbole coupe l'axe focal en deux points mais ne coupe pas l'axe non focal. Les mêmes raisons de symétrie impliquent l'existence d'un deuxième foyer F' vérifiant d( F, F' ) = 2c.

On appelle hyperbole équilatère une hyperbole pour laquelle on vérifie a = b.


Définition bifocale de l'hyperbole.

D'après l'étude précédente l'hyperbole est située entièrement à l'extérieur de la bande de plan délimitée par D et D', tout point M de vérifie donc :  ce qui, ramené aux foyers, donne : .
Un calcul simple permet de conclure avec les notations précédentes : l'hyperbole de foyers F et F' est l'ensemble des points du plan vérifiant l'égalité :.
V. Equation réduite d'une conique en coordonnées polaires.
On utilise un repère dont le pôle est le foyer F et l'origine des angles l'axe focal de la conique orienté de H0 vers F. Encore un peu de géométrie et nous obtenons une équation classique :

La courbe est entièrement décrite quand q décrit le segment [ -p, p ], une « autre » équation de la courbe est obtenue en changeant r en -r et q en q+p.
L'équation polaire détermine facilement les directions asymptotiques éventuelles obtenues pour les valeurs de q vérifiant : e.cos( q ) = 1.
VI. Et le cercle ?
Comme le nom l'indique, un cercle est une conique d'excentricité nulle, d( F, F’ ) = 0. Comme le nom ne l'indique pas sa directrice est alors renvoyée à l'infini de façon que le paramètre p soit alors égal au rayon du cercle. Moyennant ces conventions les équations tant cartésienne que polaire se retrouvent naturellement.
VII. Branche infinie et tangente à la parabole.
Pour étudier la parabole nous utiliserons bien sûr l'outil le plus adapté, la définition qui convient à chacun de nos besoins.
D'après l'équation cartésienne nous définissons le comportement à l'infini : l'axe de la parabole est direction asymptotique mais il n'y a pas d'asymptote.
La tangente en M1 à la parabole d'équation ( y2 - 2px = 0 ) a pour équation :
px - y1y + px1 = 0
On note H1 la projection de M1 sur la directrice D et N1 l'intersection de la normale en M1 avec l'axe de la parabole. Un petit calcul analytique permet d'établir que la projection du segment [ M1, N1 ], la sous normale, a une longueur constante égale à la valeur du paramètre p.
Cette propriété remarquable entraîne entre autre que les droites ( M1, N1 ) et ( H1, F ) sont parallèles et donc que la tangente en M1 à G est une bissectrice de l'angle des droites ( M1, H ) et ( M1, F ).

Tout rayon issu du foyer F est réfléchi parallèlement à l'axe de la parabole .

Une autre approche peut être faite pour nous mener au même résultat.

Un système simple d'équations paramétriques de la parabole G se déduit facilement de l'équation cartésienne de G dans le repère  :

Le point H étant la projection de M sur la directrice D et en choisissant correctement le vecteur unitaire  on  obtient les relations suivantes :

Nous admettrons que tous les éléments en présence sont des fonctions dérivables de la variable t et nous exprimons de deux façons différentes le vecteur  porté par la tangente en M à la parabole G.

Le vecteur  étant normé est orthogonal à sa dérivé, on en déduit :

Soit :

Qui traduit que la tangente est bissectrice des demi-droites  et .

Tout rayon issu du foyer F est réfléchi parallèlement à l'axe de la parabole G.

VIII. Equations paramétriques et tangente à l'ellipse.

Un système simple d'équations paramétriques de l'ellipse se déduit de l'équation cartésienne :

Introduisons deux vecteurs de norme 1 définis par les relations suivantes :

Nous admettrons que tous les éléments en présence sont des fonctions dérivables de la variable t et nous exprimons de deux façons différentes le vecteur  porté par la tangente en M à l'ellipse G.

Attention les " primes " n'indiquent pas des dérivées. Les vecteurs  et  étant normés sont orthogonaux à leurs dérivés, on en déduit :

En utilisant la relation " du jardinier " r+r' = 2a on arrive à l'expression :

Qui traduit que la tangente en M est bissectrice des demi-droites  et .

Tout rayon issu d'un foyer de l'ellipse est réfléchi en un rayon passant par l'autre foyer.

IX. Equations paramétriques et tangente à l'hyperbole.

Un système simple d'équations paramétriques de l’hyperbole se déduit facilement de l'équation cartésienne (   selon la branche considérée ) :

Introduisons deux vecteurs de norme 1 définis par les relations suivantes :

Nous admettrons que tous les éléments en présence sont des fonctions dérivables de la variable t. Un calcul analogue au précédent mène au résultat :

Qui traduit que la tangente en M est bissectrice des demi-droites  et .

Tout rayon issu d'un foyer de l'hyperbole est réfléchi en un rayon issu de l'autre foyer.

X. Encore un peu de géométrie.

Construction d'une ellipse connaissant son grand axe A'A et un de ses foyers F'.
La construction " à la règle et au compas " a été effectuée avec le logiciel Cabri II Géomètre. Nous complétons d'abord les données par les points manquants : le centre O milieu de [A', A] et le deuxième foyer F . Ceci fait, un cercle de centre F' et de rayon F'P = A'A = 2a est bien pratique pour appliquer notre version de la méthode du jardinier. La direction ( F', P ) étant choisie arbitrairement l'intersection de la droite ( F', P ) et de la médiatrice du segment [ P, F ] détermine le point M qui vérifie : F'M + FM = F'M + MP = 2a. Le triangle ( F, M, P ) étant isocèle en M cette médiatrice est aussi la bissectrice de l'angle ( MF, MP ) : nous avons obtenu sans aucun effort la tangente à l'ellipse au point M !
Appelons maintenant T' et T les projections orthogonales des point F' et F sur la tangente obtenue, les triangles ( O, F, T ) et ( F', F, P ) sont semblables dans le rapport 1 à 2, on vérifie donc : FP = 2 OT = a. Le point T est sur le cercle principal de l'ellipse C( O, a ). On ferait un raisonnement analogue pour la projection T' du foyer F' sur la tangente.

Les projections orthogonales des foyers d'une ellipse sur une de ses tangentes sont des points du grand cercle de l'ellipse.


 
Les constructions et la conclusion sont exactement les mêmes dans le cas d'une hyperbole à la différence près que la droite ( F, P ) peut être tangente au cercle C( F', 2a ) auquel cas la médiatrice du segment [ F, P ] ne coupe pas la droite ( F’, P ), il s'agit bien sûr d'une asymptote à l'hyperbole.

Cette dernière remarque induit une méthode simple pour construire les asymptotes : mener par F ou F' les tangentes au cercle principal C( O, a ) et prendre les diamètres passant par les points de contact obtenus.
 

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C.S.T. Mathématique 1999. Mise à jour du 02/07/07 .