Le théorème des accroissements finis, base de tous les développements de Taylor, est lui-même le résultat d'une suite de théorèmes fondamentaux que nous admettrons ici : Les deux théorèmes de Heine et le théorème des valeurs intermédiaires.
Premier théorème de Heine.
Toute fonction réelle de la variable réelle, continue sur un segment, y est bornée et atteint ses bornes.
Deuxième théorème de Heine.
Toute fonction réelle de la variable réelle, continue sur un segment, y est uniformément continue.
Théorème des valeurs intermédiaires.
Toute fonction réelle de la variable réelle
, continue sur le segment
, prend
au moins une fois toute valeur comprise entre
et
.
Théorème de Rolle.
Si
est une
fonction réelle de la variable réelle, continue sur le segment
,
dérivable sur l'ouvert
et vérifiant
,
alors il existe au moins un point
de
où la dérivée
de
s'annule :
. Si la fonction
est constante, pas de problème. Dans le cas contraire
prend au moins une valeur
en un point intérieur à l'intervalle
. Supposons
,
pour fixer les idées. D'après le théorème
de Heine la fonction
admet un maximum en un point
de
et ce maximum vérifie
, donc
est intérieur à l'intervalle
. La dérivée
de
au point
vérifie
| donc |
 |
et |
 |
donc |
 |
de la fonction
au point
est nulle.
Théorème de Rolle à l'infini.
Si
est une fonction
réelle de la variable réelle, continue sur l'intervalle
,
dérivable sur l'ouvert
et vérifiant
,
alors il existe au moins un point
de
où la dérivée
de
s'annule :
.
Si
est une fonction
réelle de la variable réelle, continue sur l'intervalle
,
dérivable sur l'ouvert
et vérifiant
,
alors il existe au moins un point
de
où la dérivée
de
s'annule :
.
Si
est une fonction
réelle de la variable réelle, continue et dérivable sur
, vérifiant
,
alors il existe au moins un point
de
où la dérivée
de
s'annule :
.
L'idée de la démonstration est simple, si la fonction
n'est pas
constante, elle prend au moins une valeur
. D'après le
théorème des valeurs intermédiaires, il existe deux valeurs
et
encadrant
qui vérifient
,
ce qui permet d'appliquer le théorème de Rolle sur le segment
.
Théorème des accroissements finis.
Si
est une fonction
réelle de la variable réelle continue sur le segment
et dérivable sur l'ouvert
,
alors il existe au moins un point
de
où la dérivée
de
vérifie
définie par la relation
, donc il existe un
point
intérieur à l'intervalle
tel que
Inégalité des accroissements finis.
Si
est une fonction
réelle de la variable réelle, continue sur le segment
( avec
)
et dérivable sur l'ouvert
,
elle vérifie l'inégalité des accroissements finis :
Corollaire.
Si
est une fonction
réelle de la variable réelle, continue sur le segment
et dérivable sur l'ouvert
,
si la dérivée
de
reste absolument bornée par
sur l'ouvert
, alors la fonction
est
-lipschitzienne sur le
segment :
Corollaire.
Si
est une fonction
réelle de la variable réelle, continue et dérivable sur l'ouvert
,
si la dérivée
de
admet une limite
à droite de
alors :
- est prolongeable
en une fonction
continue sur ,
- la fonction
admet une dérivée
à droite de
,
- la valeur de la dérivée
est précisément
.
Interprétation géométrique du théorème des accroissements finis :
Si
est une courbe continue sur le segment
et dérivable sur l'intervalle
,
il existe un point
de la
courbe, strictement compris entre les points
et
,
où la tangente est parallèle à la sécante entre
et
.
II Approximation polynomiale.
On dit que le polynôme
de degré
est une approximation polynomiale à l'ordre
de la fonction
( est
un développement limité de la fonction
) au voisinage de
,
si et seulement si la différence
est un infiniment petit d'ordre supérieur à
, en
.
 |
ou |
|
Théorème.
Si une approximation polynomiale à l'ordre
de la fonction
existe, elle est unique.
Supposons que
admette deux approximations polynomiales
et
de même
degré , soit
et
.
.
Supposons maintenant vraie la proposition
pour
,
on établit comme précédemment
.
La propriété, vraie pour
,
est vraie de proche en proche jusqu'à l'ordre
.
Corollaire.
Si
est une approximation polynomiale de
à l'ordre
et
une approximation de
à l'ordre
,
s'obtient en
supprimant dans
les termes de degré supérieur à
. Notons
le
polynôme obtenu en supprimant dans
les termes de degré supérieur à
.
La définition de
est une approximation de
à l'ordre
, or nous savons que
est la seule approximation de
à l'ordre
.
III Théorème de Taylor-Young.
On appelle polynôme de Taylor de la fonction
à l'ordre
en
le polynôme
existe à l'ordre
en
,
celui de la dérivée
de
existe à
l'ordre 
en
et vérifie
Le nombre
est un entier strictement positif. Si la fonction
vérifie les deux conditions :
- est
fois dérivable dans un voisinage
de
, - est
fois dérivable en
,
à l'ordre
en
est une approximation polynomiale de
en
:
en
:
 |
|
| soit : |
 |
,
fois dérivable dans un voisinage
de
et
fois dérivable en
,
son polynôme de Taylor à l'ordre
existe. On suppose que
le théorème de Taylor-Young est vrai jusqu'à l'ordre
inclus et on utilise la fonction intermédiaire
:
et
sont définies dans le voisinage
de
et
vérifient les conditions de Taylor-Young à l'ordre
.
La proposition :
:
assez voisin de
:
.
Cette fonction est bien sûr dérivable sur le segment
,
nous distinguons deux cas selon le signe de
.
Premier cas,
,
se traite de la même façon :
:
ayant été arbitrairement choisie, nous
retrouvons l'expression du théorème de Taylor-Young à l'ordre
.
Ce théorème vérifié pour
est vrai pour tout
supérieur à 1.
IV La formule de Taylor-Young en dimension deux.
Si la fonction
est une application d'un voisinage connexe
de
dans
,
fois dérivable dans
et
fois dérivable en
, on pose
( abrégé en
)
pour obtenir le théorème de Taylor-Young :
représente le couple des coordonnées
d'un point du plan
affine et que les dérivées de
sont alors des vecteurs.
Rappelons un peu de vocabulaire :
,
,
est la trajectoire de
. La courbe
est simple si et
seulement si l'application de même nom est injective. Si l'intervalle
est un segment
qui vérifie
,
la courbe est fermée.
L'approche suivante vient de la cinématique, si le vecteur
est nul en
on dit que le paramètre est stationnaire en
,
sinon il est dit régulier. Quand le vecteur
est non nul, il définit la direction de la tangente à la courbe.
Attention.
L'étude d'une courbe paramétrée n'est jamais intrinsèque à sa trajectoire, l'orientation et donc la concavité, la définition de valeurs stationnaires, dépendent du choix du paramétrage.
Etude locale d'une courbe paramétrée.
Dans le développement de Taylor que l'on supposera toujours suffisant, la première dérivée non nulle, disons
,
définit la direction de la tangente. Ensuite, la première
dérivée non colinéaire à
, appelons la
( 
),
définit avec
une base
et donc un repère local
noté
.
Principe.
Le point
est un point de rebroussement si et seulement si l'ordre
de
la première dérivée non nulle, «
», est pair.
La courbe
traverse sa tangente au point
si et seulement si l'ordre
de la deuxième dérivée retenue,
«»,
est impair.
Résumons :
Point régulier.
 |
Point d'inflexion.
 |
Rebroussement de seconde espèce.
 |
Rebroussement de première espèce.
 |
La concavité est tournée vers
 . |
La courbe traverse sa tangente. |
La flèche indique le sens du parcours selon les
 croissants. |
|
Remarque.
La concavité d'une courbe est orientée vers les ordonnées positives si et seulement si la pente
de la tangente est
une fonction ( implicite ou non ) croissante de l'abscisse
du point de contact.
On sera donc amené à comparer les croissances des fonctions
et
sur le domaine d'étude.
Cas particulier.
L'analyse privilégie les courbes d'équation
, on oublie
souvent que leur représentation n'est qu'un cas particulier de
courbe paramétrée :
est
nulle, on retrouve les résultats classiques.
V Généralisations des développements limités.
Développement à gauche ou à droite. Dans tout l'exposé précédent nous avons supposé que la fonction
considérée admettait des dérivées en
et dans un voisinage bilatère de
.
Les résultats sont exactement les mêmes si on restreint
l'étude de la fonction à la demi-droite
ou
.
Développement « au voisinage de l'infini ».
Nous dirons que la fonction
admet un développement limité à l'ordre
au voisinage de l'infini ( resp
ou
) si et
seulement si la fonction composée :
ou
).
Développement asymptotique.
La définition d'un développement asymptotique suppose l'existence d'une famille de fonctions utilisée comme échelle de comparaison. L'étude générale sort totalement du cadre de cet exposé.
Un cas particulier courant utilise les méthodes que nous venons d'étudier :
L'échelle de comparaison retenue est celle des puissances entières de
et la fonction
est supposée dominée par une fonction polynôme.
Ce qui s'exprime rappelons le :
à l'ordre
au voisinage de
, revient à
trouver le développement limité de la fonction :
au voisinage de .
La formule de Taylor-Young gère l'allure du fonction au voisinage d'un point, mais il y a d'autres « formules de Taylor » que nous allons mentionner.
VI Formule de Taylor-Lagrange.
On considère une fonction
définie sur
le segment ,
fois continûment dérivable sur ce segment et
fois dérivable sur l'ouvert
. La fonction
vérifie la proposition de Taylor-Lagrange à l'ordre
:
,
nous retrouvons le théorème des accroissements finis.
La démonstration, on s'en doute, va faire intervenir une fonction auxiliaire
pour nous permettre d'appliquer le théorème de Rolle. Nous posons
étant choisi pour vérifier
:
assure l'existence du
nombre
vérifiant
.
La quantité
est appelée reste de Lagrange à l'ordre
.
Remarquons que la formule de Taylor-Lagrange ne fournit pas une approximation de la fonction
au voisinage d'un point
( ou
? )
mais donne des informations sur le comportement de la fonction à
l'intérieur de l'intervalle
. Par exemple, pour
, nous obtenons un
encadrement subtil :
VII Formule de Taylor avec reste intégral.
Une fonction
définie et de classe
sur le segment
( i.e.
fois continûment dérivable sur ce segment )
vérifie la formule de Taylor à l'ordre
avec reste intégrale :
,
nous retrouvons le théorème fondamental de l'intégration.
Supposons la propriété vraie à l'ordre
et intégrons par parties le reste intégral :
Remarquons que les conditions requises pour calculer le reste intégrale sont plus fines que celles nécessaires pour appliquer le théorème de Taylor-Lagrange et que, si ces conditions sont vérifiées, le théorème de la moyenne permet de retrouver le reste de Lagrange.
La fonction
est supposée continue sur le segment
, on
vérifie la proposition
